matlab用泰勒公式计算圆周率

  蒙特卡洛法的原理是通过大量随机样本去了解一个系统，进而得到所要计算的值。远和外切正方形的面积之比是八除以四，在这个正方形内部随机产生暗格点， 这些点服从均匀分布统计人类的点数与按的比值乘以四，就是拍的值。理论上 i 越大，计算的拍值越准。

  那直接关于派的无穷技术都有哪些呢啊？可能最有名的一个就是由莱布尼斯给出来的，叫做派的莱布尼茨公式。长这样说，四分之派等于一，减去三分之一， 加上五分之一，减去七分之一，加上九分之一，减去点点点。哎，你看，这就简洁多了是吧， 这个公式的证明啊，是从这个几何数列来的啊，就是一减去 x 的平方，加上 x 的四次方，减去 x 的六次方，加上 x 的八次方，减去点的点，然后呢，他等于一加上 x 的平方分之一。 注意啊，这有定律啊，其中呢，这个 x 他的绝对值要小于一。这个式子呀，等式两边呢，同时积分 左边就变成了 x， 减去三分之 x 的三次方，加上呢，五分之 x 的五次方，减去七分之 x 的七次方，加上点着点啊，这右边呢，是一个反正期函数。 注意啊，这是反正先函数啊，不是倒数啊，或者或者我写上二可弹进他 x， 同样，这个 x 的绝对值呢，要小于一 啊。当这个 x 取一的时候啊，你看这左边就变成了一，然后呢，减去三分之一，加上五分之一，减去七分之一，加上点着点，右边呢，就变成了四分之派， 这样我们就得到了派的莱伯尼斯公式啊。在莱伯尼斯年代呢，还有一位数学家也发现了这个公式啊，这位叫做格雷格里，因此有些时候啊，这个公式 也叫做格雷格里来，不腻此公式。但是很明显啊，你这个 x 等于一，他不在这个收敛半径以内啊，哎，所以要单独证明，当 x 等于一的时候，这个级数同样会收敛到二个贪金的 x 啊，这块呢，咱们也不细说了，不过呢，这个公式啊，很有意思啊。 其实啊，这个公式啊，就是反正其函数的泰勒极速展开，所谓反正其啊，你像正其函数啥意思啊？就是我已知这个方面，然后求这个对边和林边的笔直，对吧？ 那反正些就刚好反过来，就是我已知对边和林边的笔直，然后呢，去求角度啊。这个反正题函数呢，有一个很有意思的公式，如果二可摊进他 a 比上 b， 再加上一个二摊进他 c 比上 d， 如果他大于 富的二分之派，小于正的二分之派，那么呢，这个二克贪阵的 a 比上 b， 再加上二克贪阵的 c 比上 d， 他就等于二摊着他 a d 加上 b c b 上 b d 减去 a c。 哎，这个公式啊，就有意思了。你比如说，那咱们举个例子，我说二克滩阵特二分之一，加上二克滩阵特三分之一，他等于多少呢？ 哎，那就按照这一个公式，他等于二，可贪真的就是一乘以三，然后呢，加上一乘以二，下边这是二乘以三，减去一乘以一，就等于二。 二克滩阵的五分之五，也就是二个滩阵的一，那二个滩阵的一等于多少呢？也就是说，一个直角三角形当中的某个角，他的对边比上林边笔直是一，这个角是多少呢？四十五度，对吧？也就是四分之派， 所以这就等于四分之派。这样利用反正切的这个泰勒展开，一样能求出派的具体住址啊。这个式子就是当年欧拉发现的，不过这个等式，他的这个收敛速度啊，不是特别快。一七零六年说一家没亲， 找到了一个快速收敛的狮子，他说呢，四分之派啊，也就是这一个二可贪进的一，他呢等于四倍的二，贪真他五分之一，减去二可贪真他二百三十九分之一。 这个式子同样用刚才的那个公式啊，你套用几次就得到了啊，这个公式就叫做眉清公式， 当年梅清是通过这个公式计算出了派的一百位小数来徒手算的。哦，然后这个公式就火了啊， 类似的公式还可以构造出很多，只要利用刚才说的这个反正些公式就行了啊。你比如说四分之派，他呢，就等于二十二倍的二贪阵他八七三一二一分之二四四七八，再加上十七倍的 二克滩枕头六九零四九九九三，然后分至六八五六零一， 这个公式啊，收敛速度更快啊，如果要是不限于两项，那公式就更多了啊。你比如说高斯，当年啊，就发现并且呢，用过一个高斯，说四分之 等于十二倍的阿克贪，真的四十八分之一，加上八倍的阿克贪真的五十七分之一，减去五倍的阿克贪真的二百三十九分之一。 像这类啊，关于派的这种反正切公式，就统称为眉心类公式， 出现之后，人们最早利用这个计算机去计算派职，就是用到这个煤气类公式计算的啊，有一些煤气类公式，他的这个收敛速度啊，或者说，呃，就计算效率还是很可观的啊。你比如说这个公式算了，公式太长了，直接找了个图片啊。 嗯，那咱们再来看几个啊，就是比较有意思的关于派的公式。话说呢，在一七三三年啊，数学家迪莫夫啊，咱们之前介绍过他的这个迪莫夫公式啊，就是那位迪莫夫，他发现啊，这样一个式子， 他发现呢，说 n 的接成他近似等于 n 的 n 次方，然后呢，再乘一个根号 n， 再除以一个 e 的 n 次方，再乘以一个长数 c， 哎，具体这个长数啊，是多少是题目符呢？不知道啊。就是，而且只能是近似等于，如果想要等于，那就得需要这个 n 呢，要区域无穷大。 后来呢，又有一位这个说一家叫做斯特林啊，斯特林他证明了，说这个长数 c 呢，其实就等于根号下二派。 哎，这样我们就又得到了一个关于派的公式，也就是当 n 区域无穷大的时候， n 的接成乘以一个 e 的 n 次方，然后呢，再除一个 n 的 n 字 四方，再乘一个根号 n， 他呢就等于根号下二派。这个公式同样很完美，对吧，有意也有派，这公式呢，一般叫做斯特林进四。 为什么叫近似呢？因为斯特林近似其实是一个近似结果啊，他的完整版叫做斯特林级数啊，大概长这样。这样呢，你 n 就可以这个随意取值了啊。这个公式啊，收敛速度也很快，不过要论收敛速度啊，谁都不服，就服一个人，谁啊，拉马努金， 拉马桶金说，女神给我托梦了啊，告诉我这样一个公式，这风格一看就很拉马桶金是吧，就就是看不懂啊。呃，这其中还用到了魔方城。重点是啊，他的收敛速度真的是很快啊，人家顺便就开创了一下就近代近四数之模拟的先河啊。你像之前人们用计算机算法都是 基于这个煤气类公式的，从拉把努金之后啊，基本上就都改了啊，因为你相同的算利，相同的时间，拉把努金的算法可以轻轻松松的就计算到上百万位。后来呢，美国有一对兄弟啊，叫做主德诺夫斯基， 你听这名像这个俄罗斯人是吧。哎，对，这这要是其实都出生在基府，就是切尔诺贝利附近啊，他俩呢，就在这个拉马努金的这个公式的基础之上啊，又得到一个新的公式，哎，长这样，这个公式啊，更拽啊，现在就叫做楚德诺夫斯基算法啊， 二零一一年的时候啊，呃，人们呢，利用计算机通过这一个算法首次将派的小数呢是计算到了万亿位。 目前人们计算派使用的就是类似的这个变体算法啊，而且已经不是一个人的任务了。现在最大的派职计算程序啊，叫做 y cruncher， 每个人都可以参与，然后提供一些这个算例啊，截止到二零一 一九年的一月份，派的这个精确度已经突破了三十一点四万亿围 好了。关于派的一些有名的无穷项算法啊，咱们也就说的差不多了啊。呃，不知道各位是否都坚持到这了吗？ 其实啊，还有很多啊，你比如说这个牛顿当年也通过反正前函数徒手计算到了派小数档后边的十五位精度，这算完了还说呢，是我自己都感觉不好意思啊，因为这个办法啊，实在是太繁琐了啊，我算了好几天啥都没干哈。 听到这啊，可能各位有个疑问，就是你把派计算的这么精确有什么用呢？我日常生活当中取个三点一四就足够用了呀， 即便用于科学领域，我取个几十位精度，那也可以满足需求了吧。那为什么还要继续的去算呢？其实啊，在计算机刚刚诞生的年代，计算派职有一个很重要的用， 那就是测试这个计算机他的性能，你比如说同样的算法，我同样计算这个一位，哪个电脑计算的快，那哪个电脑性能就好呗。 现在的目的啊，更多的就是为了研究这个派的一些性质啊，比如说咱们之前提到过的正规性啊，或者呢，他的超越性啊，再或者人们也只是单纯的想更接近这个无穷的概念本啊，说无穷的尽头会是什么呢？再说白了，好奇的本性呗。 但是啊，显然我们是不可能无穷的计算下去的啊，我们假设啊，把语录当中所有的原则我都作为一个比特去存储这个派制啊，那撑死了也就十到八十四方个比特呗啊，换句话说，资源是有限的，算利就一定是有限的啊。 好了，那今天啊，咱们就聊到这啊，明天再继续填坑。我是妈咪树，一个较热的理工男，下期见，拜了个拜。

  用这个可以测自己电脑的 cpu 的性能。好，我们现在来看一下，首先打开这个软件啊， cucuper 派，这个是日本人发明的，呃，应该是日本人编写的软件，现在我们打开啊，现在 大家看到这个界面的是中文版本，因为他已经汉化了。现在我们首先来计算一下一点六万位，一点六万位的话应该是还不到一秒钟我们就算出来了，那算的数值呢？就在这个 tst 文档里面我们能够看到啊，这个是一点六万位。 好，现在我们关掉它，我们继续来一百万位，我们现在直接调到一百万。一百万开始一共是重复进行十九次的计算，我们看一下到底花了多久时间，大掌柜的电脑到底好不好呢？ 现在是十秒，十一、十二、十三、十四、十五、十六、十七啊，一共是十六秒，十六秒就完成了整个的计算过程。我们现在来看一下 所有的啊，这是一百万位的，一百万位的这个圆周率的值都在这里面，现在我们来看他的大小是多少？大小是。

  在古时候，人们发现了一个神奇的规律，随便画几个圆，不论他们的大小如何变化，周长与直径的笔直总是不变的。而想要求出这个笔直，就必须精确的算出圆的周长。 公元前二五零年左右，古希腊数学家阿基米德提出可以通过一点点逼近的方法求得圆的周长，进而求出圆周率的大小。先在圆的内部画一个内接正六边形，这样就可以求出圆周率的下线为三， 然后在圆的外部画一个外切正六边形。借助勾股定理，可以求出圆周率的上限小于四，这个范围显然太广，于是阿基米德将多边形的边数依次倍增到正十二边形、正二十四边形、正四十八边形、正九十六 边形，最终求出圆周率的上下线分别是七分之二十二和七十一分之二百二十三， 他们的平均值三点一四一八五一便是圆周率的近四值。这个加逼法的思路整整影响了西方国家一千多年。而在公元二六三年左右，也就是我国古代的魏晋时期，数学家刘辉也开始了圆周率的计算。 它使用割元树先画出圆的内接六边形，然后将每段弧分割为二，做出一个内接正十二边形。 以此类推，分割的越细，得到的多边形就越接近远。直到求出了正三千零七十二边形的面积，才得到了令其满意的圆周率三点一四一六。二百多年后，祖冲之也用了刘辉的算法，将原 周率的范围缩小到三点一四一五九二六到三点一四一五九二七之间，达到了小数点后七位的精度，这个记录在全世界保持了将近一千年。 后来随着数学方法的不断发展，人们开始摆脱繁琐的计算公式，利用无穷成疾、无穷极术等表达式来计算派职，而电子计算机的出现更是让圆周率计算有了突飞猛进的发展。 二零一九年三月十四号，工程师艾玛在谷歌云平台的协助下，将圆周率精准到了小数点后三十一点，四万亿位。但是有十位小数就能够满足几乎所有的计算需要， 科学家们为什么还要前赴后继的继续计算呢？虽然说派已经被证明了是一个无限步行 小数，但是研究人员们还是希望能够通过数值的不断计算给出实践证明。并且不仅仅是几何领域，在众多科学领域，圆周率都发挥着重要作用。

  前段时间的新闻啊，说是谷歌云把圆周率算到了一百万一位，作为一个合格的理工男，当然也想自己算一下啊，不耐创业未半而花光预算，还只好搞了个最简单的乞丐版实验， 用弹珠小球做了个蒙特卡洛模拟的实验啊，然后呢，再利用几何概型的知识来求的圆周率，结果是三点二四九， 误差大概是百分之三点四。后面我又用编程把这个实验模拟了一遍，精度更高了。但是计算圆周率不是今天的重点啊，今天的重点是讲讲我们是如何从数学理论到算法表达再到代码实现的。视频后面有惊喜哦， 要求圆周率根据圆的面积公式，可以先测量出圆的面积，然后再出一半径的平方啊，就可以得到派了。那么如何测圆的面积呢？方法有很多啊，这里 我用的是几何概型，建立一个直角坐标系，再画一个一乘一的正方形，里面有一个零点五乘零点五的小正方形，然后在这个一乘一的区域内产生随机点，那么随机点出现在小正方形里的概率就是四分之一，这不就刚好是小正方形和大正方形的面积之比吗？ 如果这个时候我把小正方形换成一个半径为一的四分之一圆的话，这个关系也是成立的。 为什么要用四分之一元呢？因为后面产生的随机数是非负数啊，所以说我们要在第一项线解决战斗， 以圆点为圆心呢，也是为了方便计算。随机点出现在四分之一圆内的概率等于四分之一圆的面积，不以这个正方形的面积的啊，我们一下下啊，就可以得到了，圆的面积呢，是等于四乘以概率，再乘以大 正方形的面积。好，那么问题来了，这个概率怎么测？我们可以用频率去近视估计得到这个概率啊， 说人话呢，就是我们让随机点多次出现，然后呢，再统计这个四分之一园内的点的个数，再处以整个区域的点的总数，我们就可以得到随机点出现在园内的频率了。好，那么现在概率也得到了，正方形的面积也知道了，再乘以四呢，就可以得到了整个圆的面积， 再用圆的面积除以半径的平方啊，就可以得到派了，半径呢，是等于一的。接下来我们要把上面的数学原理写成代码，但是写代码之前呢，我们还是得先把算法给写一下， 算法的表达方式有很多啊，其实不必拘溺于某种形式的，你可以写一段伪代码啊，画一个流程图，甚至写一篇小作文。当然也不能太放飞自 我来写啊，因为你既要精准的表达数学内涵，又要易于理解。最后呢，还得是可实现的，因为我就见过有个靓仔啊，用了一个算法跑奔一台服务器了，我想在这个区域内产生 n 个随机点， 那么我就用 n 四循环啊，每一次循环就有一个随机点产生啊，然后我们再在这个零到一的区域内产生随机数， x y， x 作为横坐标， y 作为重坐标，如果有 x 的平方加 y， 平方小于一，我们就把四分之一元内的点的个数呢累加一。 这句话的意思呢，就是，假如有一个点坐标是 x y， 而 x 的平方加 y 的平方就是这个点到圆点的距离，然后呢再平方，如果这个点是在圆内，那么它的距离的平方呢，是小于半径的平方的啊，而半径呢是等于一的。好，我们到循环结束啊， 得到了圆内的点的个数为 k， 而整个区域内点的总数呢是 n， 我们用 k 除以 n 就可以得到随机点。在四分之一元内出现的概率，再乘以大正方形的面积一，就得到了四分之一个圆的面积，再乘以四，我们就可以得到了 以整个圆的面积除以半径的平方，也就是一，最终呢就得到了圆周率。 那么以上的文字呢，就是蒙特卡洛实验的算法，我们就是要根据这个算法去把它用代码实现出来啊，代码我已经写好了，我们来做一下代码的分析啊，这里呢我用的是抓把来实现的代码分成两大块啊，上面这块呢是数学原理的描述， 下面这块是主函数直行，这里表示的是循环。 xy 呢，是用的 random 函数去产生 一个零到一的范围之内的随机数。这里呢是做了一个判断， 如果说 x 平方加 y 平方小于一，那么四分之一元内的点的个数就累加一，这个是圆周率的计算公式。在这里我们可以输入我们实验所要用到的点的总数，我们先用一百个点来试一下， 算出来，结果呢是三点二啊，不是非常的准确啊，我们再运行一次，这次又变成了三点三二，证明这个一百个点呢个数还是太少了， 所以他的结果呢会波动比较大，我们再用一千万个点来重复一下这个实验啊，哎，我们发现了这个结果就非常准确了，三点一四一五，对吧？在这里感觉还是不够形象啊，我把程序又换了一下，做了个图形界面给大家看一下啊， 给你们留个作业啊，用蒙特卡落实验去求椭圆的周长怎么做。你们可以尝试像我这样用数学原理分析。然后呢再用算法把它写出来啊，我们下期详细讲，我们下期见。

  上期呢，咱们介绍了古人求圆周率派的一些算法啊，无非就是割圆做这个正独白行，然后呢，一点一点的去逼近啊，这都算是几何思路。等到了中世纪啊，极限和微积分的思想发展出来之后啊，一些派的新算法就出现了。 那么这一期呢，咱们就来简要的介绍一下派的无穷项算法啊，哎，各位不用感觉很难啊，至于繁琐的推倒过程啊，我尽量的省略还是老惯例，咱们重点啊，就分析一下前人的这个思考过程和灵感来源啊，这个是最主要的啊。 好了，进入正题。在欧洲啊，第一个给出派的无穷项公式的人，那是法国的数学家伟达，就是提出这个伟达定理。那位伟达在一五九三年啊，他就给出了这样一个公式啊，这是一个无穷成绩公式啊，他还不是无穷极速呢。呃，所谓无穷极速，就是指 一组无穷狩猎他的和，对吧，他这是成绩，但是他这个公式啊，可以说是第一个关于派的有限和无限之间的桥梁啊。下面啊，咱们就来看一下伟达的想法。首先伟达呢，也是从个圆开始啊，呃，这是一个圆，然后呢，我们做一个内接正方形， 我们假设这个圆，他的半径呢，等于一，那么圆的面积就等于派，对吧，那正方形的面积是多少呢？边是根号二，那正方形的面积就是二， 如果按照古人的思路，那就得继续分割说，我做正八边形啊，正十六边形等等，然后一点一点的去算这个面积，去逼近 伟达呢，是这样想的，假设我们用这个正方形的面积比上这个圆的面积，也就是二比上派， 那他应该等于多少呢？如果我们可以继续分割正多边形，那么这个圆的面积就应该等于一个边数为无穷大的一个正多边形，他的面积，对吧？可是乍一看啊，这这句话就等于没说啊，不过伟达说，没关系啊，我把这个柿子呀，给他加一些象进去， 加什么呢？我让这个正方形的面积啊，先比上一个正八面形的面积，然后呢，再乘以一个正八边形的面积，再比上一个正十六边形的面积， 再乘一个正十六边形的面积，比上正三十二边形的面积。这么以此类推，你这样一直写下去，最终就是某个正多边形，他的面积，然后呢，比上一个这个 s 正无穷大，其中我每两项都可以约掉啊，所以整体这个式子一定是相等的。那下面啊，咱们就得期待 一件事了，就是如果这个无穷成绩的每一项之间，他存在着某些规律，哎，那就完美了啊，有没有这个规律呢？有啊，我先直接把这几个呃正多元形的面积公式告诉大家。 这个正八边形，他的面积呢，就是二倍的根号二，然后再乘以一个二方啊，其中这个二就是外地元的半径，咱们举这个例子就等于一对吧，正十六面形，他的面积呢，是四倍的根号下二，减去根号二，再乘以个二方。 正三十二变形，它的面积呢，就是八倍的根号下二，减去根号下二，加上一个根号二，再乘以个二方，这几项就足够了啊，我把每一项带入，然后呢再化减一下，那这第一项就是根号二比上二，这第二项呢， 就是根号下二，加上根号二比上二，第三项就是根号下二，加上根号下二，加上根号二比上二。 发现规律了吧？这样我求前几项的面积就够了，我之后一直写就可以了啊。但是伟达是有严格证明的啊，这前边是二比上派，这个公式就叫做伟达的派公式， 他也可以求这个派的近四指，因为你越往后，这个每一项啊，他就越趋近于一，所以我们可以从其中的这一项给他去截断，然后去估算这个派指。那说这些个面积公式，这是怎么来的呢？ 是这样，我们画一个圆，然后呢，假设这是正多边形的一部分，假设这个圆的半径呢是 r， 那正多边形的面积就应该等于这个三角形的面积，再乘以一个相 相应的边数，对吧？那这个三角形的面积等于多少呢？半底乘以高呗。我们就假设这是一个正 n 边形，那这个大角就是二派比上 n， 他的一半，这个角就是 pad 比上 n， 然后我们用这个 r 来表示底和高，这高呢，就等于 r 倍的抠 siri， 然后派比上 n， 这底的一半呢，就等于 r 乘以个 siri， 派比上。恩， 所以整体这个大三角形的面积就 s， 三角形就等于 r 的平方，然后塞音派比上 n， 再乘以个扣。塞音派比上 n， 那正多边形的面积是多少呢？一共分隔成了 n 份，就再乘以个 n 就行了呗。啊，或者呢，我们可以用二倍角公式把它写成二分之 n 倍的塞音二派比上 n， 再乘以个二方 正八、正十六，正三十二正二的 n 次方边形的面积公式就可以通过这一个二倍角公式不停的迭代得到了啊，这块咱们就不展开了，不过啊，咱们看这里，这个式子呀，当 n 趋近于无穷大的时候啊，他应该等于什么呢？ 当恩区无穷大的时候，他的几何意义？就是咱们刚才说的就是我在这个园内画了一个正无穷边形，哎，就是这个正无穷边形，他的面积对吧？ 那显然他的面积应该等于圆的面积，所以当 n 区域无穷大的时候，这个式子应该等于派 r 方，我们把 r 方约掉，也就是当 n 趋于无穷大的时候，二 n 倍的赛因二派比上 n， 他就等于派。 咱们再写个一般点的式子，这个二呢，也不要了，当 n 趋于无穷大的时候， n 倍的在派比上 n， 他就等于派。 这个式子呀，有什么用呢？至少我们可以通过计算器来求派置，你比如说我选取说，当 n 等于一万的时候，那么一万倍的塞音一百八十比上一万， 哎，你们可以通过计算器来算一下啊，他约等于三点一四一五九二六，同样可以达到小数点的七位经络啊，你恩值越大，经度就越高。其实这个极限啊， 还有更一般的同事，那就是当 n 去无穷大的时候， n 倍的赛因 x 比上 n， 他呢要等于 x 啊，不仅限于判啊，这块这个大家了解一下就行了。 好，那咱们收回到伟达公式啊，伟达公式啊，虽然开了个好头啊，不过想要层层的开根号，那在当时也不是一件容易的事啊。但是伟达的这个公式呢，却为数学家呀，就开辟了一个新思路，哎，就居然还可以这么玩。 于是呢，很快在一六五五年啊，英国数学家沃利斯就给出了沃利斯成绩。 物理寺说呀，这个派比上二，他呢要等于二比上一，然后乘以一个二比上三，然后再乘以一个四比上三，再乘以一个四比上五， 再乘以个六比上五，再乘以个六比上七。哎，这么以此类推，你看，这又是一个无限成绩。 这个公式怎么来的呢？呃，咱们不给这个具体证明了啊，咱们来说一下当时的思路，哎，我去，这个思路呢，是这样的，我们呢构造一个函数啊，是 c x 比上 x 这个函数啊，当他等于零的时候啊，这个方程的根都是什么呢？是不是就当这个 x 取 n 派的时候啊，其中这个 n 呢，要等于正负一，然后呢，正负二，正负三等等。那你看啊，我这么写， 我说塞印 x 比上 x， 他呢就等于一减去 x 比上派，再乘一个一，加上 x 比上派，再乘以一个 一减去 x 比上二派，再乘以个一，加上 x 比上二派第二点点。哎，就类似于这个音式分解一样，就是我把所有的这个根啊，都给他写出来， 那这两个式子是不是相等的呢？啊？是相等啊，如果咱们没给出这个证明啊，完全是猜想，不过没关系啊，你大胆猜想，小心求证呗。 那你看啊，当这个 x 它等于二派的时候，这个式子等于啥呢？这左边就变成了二比上派了，对吧？右边呢，就变成了二分之一啊， 乘以二分之三，再乘以四分之三，再乘以四分之五点点点， 我们把它整体倒过来，是不是就是这个沃利斯乘机啊？哎，妙吧。但是啊，这沃利斯是不是这么想的？这个 来确定啊，不过有一个人确实是这么想的，哎，这位就是欧拉，那欧拉怎么想到这呢？哎，这啊，咱们得从巴塞尔问题说起， 话说在一四年啊，意大利的设计家叫蒙格利，他呢就面向社会啊，就提出了一个问题啊，他问 说一的平方分之一加上二的平方分之一，加上三的平方分之一，哎，加上四的平方分之一，这么一直加，这个结果等于多少呢？哎，这个问题就叫做巴塞尔问题， 在当时蒙格利证明了，说，一分之一啊，加上二分之一，加上三分之一，加上四分之一，这么一直加，他的结果是发散的 啊，这个咱们之前说过对吧，他叫做调和级数。可是这个巴塞尔问题呢，蒙格利啊，就没想明白啊，并且在之后是一直困扰了人们一百年 颜值酒，直到一七三五年啊，巴塞尔问题被欧拉解决了，欧拉最初的想法其实很简单，他手里边呢，有两个关于正弦函数的公式，一个就是咱们刚才写的就这个狮子， 与此同时，第二个公式啊，就是这个正弦函数的泰勒展开式啊，这块咱们之前也说过啊，我直接把公式告诉大家，说呢，赛引 x， 它等于 x 减去，然后 x 的立方比上三的阶层 加上 x 的五次方，比上五的结成减去 x 的七次方，比上七的结成加上点点点。我们把右边提取出一个 x 除到左边来， 那右边呢，就变成了一减去 x 的平方，然后比上三的结成加上呢 x 的四次方，比上五的结成减去 x 的六次方，比上七的结成加上点点点，这等式左边刚好就和这个式子相等了，对吧？那好，咱们再来看这个式子。 先来继续算一步，我把每两项啊给他乘起来，那就变成了一减去 x 的平方，然后呢，派的平方， 他乘以个一减去 x 的平方，再乘以个四倍的 pad 平方，再乘以个一减去 x 的平方，再出一个九倍的 pad 平方，点着点， 然后怎么办呢？这展开了，这明显有无穷多项啊，也没关系，我们想办法把其中的二次项单独给他提取出来啊，你会发现啊，如果要想保留这个二次项，他一定是这些项啊，和这个一相成了，所以呢，这个二次项的系数呢，就应该是 负的派方分之一加上四倍的派方分之一，加上九倍的派方分之一加上点点点，对吧？那我再把这个派方给他提取出来， 就是负的派方分之一。这括号里边应该是啥呀？是不就是一的平方分之一加上二的平方分之一加上三的平方分之一。这么一直加呀，是不就是巴塞尔问题的这个无穷极数啊？哎，有点眉目了吧， 那这个二次项系数之和整体等于多少呢？哎，我们再看这个泰勒展开的这个式啊，这里边就是一个这个二次项啊， 而且呢，这个系数是负的三的阶层分之一，也就是负的六分之一啊。欧拉又说了一句，欧了啊，所以呢， 我们让这两个二次系数的这个式子呢，让他相等，也就是他等于负的六分之一，把负号一约掉，这个派方呢，给他移过来，所以这个巴塞尔问题啊，就等于六分之派方， 你看，这就是数学家的直觉啊，有的时候就是遇到难题啊，不妨换个思路啊，就是先找结论，如果验证没毛病，你再去求证啊。欧拉是一七三五年啊，得到了这个六分之派方的这个结果， 六年之后，一七四一年才给出了完整的证明。至此，巴塞尔问题啊，才完美的解决了。我们呢，也得到了另外一个关于派的无穷技术的算法。哎，这个就是一个无穷技术了啊，唯独呢，他是一个关于派方的无穷技术。那直接关于派的无穷技术都有哪些呢？

  之前有个叫何曾宝的科普博主啊，说他在书店看这个欧洲史，提到这个公元四百五十七年，那个罗马帝国沃西他的敌故，这应该是中国啥朝代啊？旁边有个大叔凑合，就说宋朝吧，应该是大明，他心想，你是东一角西一角，说什么呢？他宋朝是快供应一千年见过的，一千年前大明少是六百多年前的事，你和这有啥关系啊？ 然后回家好奇打开手机搜了一下，公元四百五十七年，昊家湖是南北朝里的南朝宋啊，皇帝刘俊，年号大饼， 本田人大叔的大基层啊。这大叔这么邪文吗？其实也没啊，一千五百多年前的这个四百五十七年呢，当时是天下二分啊，叫南北朝。南方呢，是汉人的政权刘宋啊，和北方这个先辈的北魏对立啊。这个刘军的大名呢，也不是一个平平无奇的年号，因为就是在这个时候，一个叫做大名利的立法，彻底改变了中国的纪实历程。 咱们现在离异的日历呢，是每年三百六十五天，然后每四年加一天啊，所谓的润年啊，这样平均下来呢，每年就是三百六十五零四分之一天啊， 也就是三百六十五点二五天。但实际上呢，一年的准确时间呢，其实是三百六十五点二四二幺九九天啊，剩下那个是不到四分之一天的。所以呢，大约从公元一世纪确定这个立法在西方，等到一千五百八十二年的时候，突然 发现一千多年来的这个时间误差，已经累积到十一天了啊，这已经不少了，所以当时的教皇格里高丽就把一千五百八十二年十月四号的第二天啊，变成了十月十五号， 删了十天，而且规定啊，每四百年要减少三个日年才能符合这个年的周期，这就是如今我们使用的隔离高利率啊。后续你可以打开日历看看，一千五百八十二年十月份挺好玩啊，不过早在南朝宋的大明年间啊，有一个江苏的县长啊， 他同样也发现，如果按照古书周笔里的这个四分力，哎，那是有问题的，这四分力是啥呢？中国的立法呢，是一种阴阳力啊，这个月亮阴性圆缺就是一个月，然后古人观察，每个月呢，大约是二十九天半啊，那这样十二个月呢，就是 三百五十四天，你这样和太阳一个周期的三百六十五天，还差十一天呢，所以每十九年就能查出来七个月的时间，冬至能跑夏天去。所以我们的立法每十九年要多加上七个月啊，形成所谓的润月啊，维持平均一年这个三百六十五零四分之一天啊，和日常这个阳历的时间一样，也就是这个所谓的 四分力。所以呢，这个南朝的现场就发现，哎，这时间一长了，好像这个立法是有误差的，他推算呢，一个月的精确时间应该是大约二十九点五三天啊，而一年的这个精确时间呢，大约是三百六十五点二四二八天啊，所， 所以这位就决定在每三百九十一个阴历年多加上一百四十四个润月，这样呢，就和他计算的数据，这一年三百六十五点二四二八天所吻合啦。这就是我们开头所说的，直接影响到后世立法的 大名利啊，而咱们现在这个格里高利利呢，平均一年是三百六十五点二四二五天啊，和这个大名利是非常接近了啊。那前面也说了，这个立法可不是一千六百年前的这个南北朝大名，而是真的咱四百年前的那个大明朝。 好了好了，这个制定大名利的县长到底是个啥神人呐，说了眼睛勺啊，人家叫祖通之啊，就是以中学课本的那个圆周率大神啊！但重点来了， 他玩立法和玩圆周率到底有啥关系吗？哎，这个就不得不说啊，前面说了，记载四分力的那个鼓励的周比啊，这个古书呢，谁写的，已经搞不清了。那你就要知道，这里面有个很的理论啊，叫若求邪之日者，以日下为钩，日高为古， 五谷各自成婴儿，开放出之德协，日日说人话。就是，如果你想知道你距离太阳有多远，就搞一个叫做周比的竹竿啊，太阳距离地面的距离叫谷， 你距离太阳的直射点的距离叫沟啊，太阳到你的位置叫做鞋啊，也就写成这个鞋，那么把这个勾股各自成自己啊，随着平方，然后加在一起，再开个平方，就是这个鞋的长度。没错，这个就是勾股定理。所以呢，这个周笔拥有提出用这个八尺长的这个周笔竹竿去测夏至正午太阳的影子，一看是一尺六寸长，所以在他们看来，这个周 周比影子所形成的三角，就和这个太阳和地面的三角形成了一个形状完全一样的大小相差很大的相似三角形。而这个古人认为那个夏日的太阳呢，应该是在穹顶一样的天顶啊，距离大地中心八万里，所以按照比一计算，八尺的周比一尺六的影子， 我们应该距离大地重心一万六千里啊，而这个太阳呢，会在夏至离我们最近，冬至离我们最远。然后呢，周比就认为周比的影子每长短一寸，太阳就离开靠近我们一千里啊，每次回到这一尺六寸，那就又是一年的时间啊。我们现在知道了，地球是个球，太阳那个距离是没变化的， 因为地球自转，它有角度吗？导致公转那个太阳的直射？狡辩了，我们才看到这个影，又长又短。但是这些都不重要，你只知道因为周比里面这个勾股定理达三三角形的这个东西，我们才推出了更便捷的这个测绘工具叫矩啊，对，就是一个那个三角板的雏形啊，拿它测一个山高水深啊，问题都不大。为了划天体的运行，我们更是把两个绑好的木 偶尔绕一圈啊，成了一个圆，也是一个所谓的圆规了。通过这个规和矩啊，周天运行的这个规矩啊，我们好像也能计算了。按照周笔里面的就是说吧，啊，把我们前面的东西搞了个吉大成，元静一二周三方静一二三四申圆之周二为勾，展芳之大，二为鼓，共结一脚，斜视玄武。 比如说直径为一的圆，那周长大约是三啊，正方形一个边是一，那周长大约就是四。如果展开圆，周作为勾，展开方作为鼓，那么这个鞋应该就是五啊，他能参加四乘四等于五乘五嘛， 不过这个圆周率三，那肯定是不太准了，你也知道是吧？希腊那边的阿基米德就不同看法啊，他也找了一个直径十一的圆，为了测量他周长呢，给他做了一个内接正六边形，这个六边形的边长呢，和圆的半径一样，所以周长相当于六个半径啊，就是三。然后， 然后呢，阿基你呢，又给这个女儿做了一个外接正流边形 a 这条线购物定理一下啊，边长大约是三点五啊，那这样呢，他就认为圆周率应该在三到三点五之间， 然后呢，阿基米德又把两个多边形多次加倍啊，八十，然后呢，疯狂用这个购物定律去推，直到这个内外接正九十六边形为止。然后得出最后的结果就是圆周率大约在三点一四零八四五到三点一四二五八五七之间啊，取个平均数就是三点一四一八五七啊， 他认为这个就很接近圆周率了，但是呢，中国有比他更会玩的，比如三国的刘辉啊，他也觉得周比，你们说那个静一周三不准啊，他认为那不过是把圆割出来的正六边形的那个周长和直径的比啊，根本不是圆的圆周率，所以 他也从这个正六倍镜开始，把这个边数是逐次加倍。哎，他知道这个正多边形越多，是不是他越逼近这个圆，只要算是无限多正多边形的一个周长就好办了。怎么 算呢？我的过程就不计说了，你知道，只要根据勾股定理，就可以用这个老的多边形的边长，然后推出新的多边形的边长，可以无限的推下去，然后用这么一个公式就可以去算，按理说这就是使劲算吧，但是你要知道，古人他没有计算器，让他开这个根号，那就是用手去应试啊。 所以呢，刘坤就开始干上加干啊，一直能干到一百九十二变形的时候，就已经得出这个圆周率三点一四了，干到三千零七十二变形得到了三点一四一五啊，其实已经雅吉米德要准了， 这种意识呢，也包含了高等数学最重要的一种极限思想。所以呢，这刘教授还来了一句叫此律尚微少啊，表示只要沿用这个算式就能更精确。那谁给搞的更精确了呢？就是这个组通知了啊，这位大神的格言呢，叫不虚推，古人清凉归史 茶，遗漏字迹毫无离日，心穷惆怅啊！这位爷拉上他的儿子，硬是给干到了，挣两万四千五百七十六边形啊，得出圆周率的三点一四一五九二六到三点一四一五九二七之间的一个精确数字，那靠着这样的一个干法组成之才，推出了那个更影响后世 精确的前面说的大名利，那随着计算机的出现呢，其实一年已经精确到了三百六十五点二四二幺九九零七四天了啊，这圆周率已经计算到了第六十二点八万亿位了，但是对于现实来说呢，日期的后四位数 已经不太重要了，十几位小说的派也足以应对现代科技领域任何的技术应用了啊。其实全世界的数学呢，源头都离不开对这个日月星辰的观察，对山川湖海的测量，他其实本来就为了服务农食啊，便利商贸等这项有用的东西，但是却因为人对自然无穷无尽的求索，搞出一对无用之用，而正是一些无用之用，又直接彻底的改变了我们这个渺小物种 命运。希望有一天你和你的后辈遇到数学，感受的再不是草纸上的痛苦，而是整个世界上的温度。最后呢，来一个彩蛋，那就是圆周率。为什么叫派呢？英语里这个圆的直径呢，叫 demitar 啊，这个 miter 呢，就是这个长度米的意思嘛，那个 den 呢，就是穿过的意思，这个 dengmate 穿过的长度啊，很好理解， 所以这个直径一般简易上这个地。而这个圆的周长叫拍瑞梅特，那个拍瑞梅特还是长度米啊，就是绕一圈的这个长度啊。不管这俩词呢，其实都是人家阿基米德老家这个希腊的希腊语啊，你像那个周长拍瑞梅特， 用这个希腊字母写的就是这个佩利梅特洛斯啊，这个希腊字母的这个派就是拉丁字母的这个 p 嘛，所以圆周率就用了这个。前面这个派啊，表示这派 me too 斯啊。好了，入个派吧，希望诸位能把数学和英语都能搞出点儿香味儿来。

  众所周知，拉玛瑙金开创了现代圆周率高速数值计算的先河，他给的这个怪攻是每叠带一次大约能得到八位圆周率的有效数字。 但这个公式是现在最快的算法吗？答案是否定的，这个公式仅仅是先合，比如 在拉玛鲁金基础上改进的楚德诺夫斯基算法，他每叠带一次可以得到十四位有效数字，大约等于两个拉玛鲁金。今年八月十四日，瑞士某团队创下的六十二点八万亿位记录用的就是他。 那么这应该是最快的方法了吧？格局小了，让我们简简单单设几个初始值，再把初始值扔到下面这一坨东西里去迭代。你会惊奇的发现， 这坨东西每一次迭代，有效位数直接翻九倍，只需要七次就能算出十五万位。可能有人又在说了，这应该是最快的算法了吧，格局？

  你好，我是托尼老师。今天我们继续来练习 circle， 那么这次的题目呢，是我们来计算这个圆周率，拍它的一个值，我们知道这个圆周率大概等于这个三点一四，对吧？那么我们今天来看一下哈， 怎么样我们也可以模拟出这个圆周率的值呢？那么这里呢，有一个方法，就是说我们看右边有一个图哈，他是呢有一个正方形，然后呢还有一个呢，画了四分之一的这个圆，那如果说呢，我们随机的往这个正方形里扔点哈，随机扔， 扔的很多次呢，比如说我们扔了大恩次之后，那么他就会有一些呢，这个点会落到这个四分之一元之内，对吧？那么这个落到四分之一元之内的这个次数呢，我们认为他是小恩，那么这个小恩和 大 n 的比呢？其实就等于这个正方形的面积和这个四分之一圆的面积的比例，对吧？因为我们是随机扔的，那么这样呢，我们大家可以看一下，它有一个公式，就是小 n 除以大 n， 它等于什么呢？正方形的面积呢？就是，呃，长乘以宽，对吧？就是一的平方， 而这个四分之一圆的面积呢，就是四分之一乘以这个拍乘以这个半径的长度，对吧？那其实就等于呢四分之派。 那如果说我们把这个公式换一下，那么 pi 呢？它是大概约等于呢四倍的这个小 n 除以大 n， 对吧？那这样的话呢，也就是说，我只要能够获取的这个 落到四分之一圆内的次数和这个正方形内的次数，他的一个比例呢，我大概就能模拟出这个拍了，那么实际上这也是一个统计学的一个方法，叫做蒙特卡洛实验方， 那么接下来我们来还需要注意一点，就说我怎样判断我这个点是落在这个四分之一圆里呢？对吧？所有的点肯定都落在正方形里头，但是呢，有些点是在这个四分之一圆里头， 那么我们大家可以看到这里有一个弧线，对吧？弧线，那么在这个四分之一圆内的这个点有一个特点，就是他到我这个圆点啊，中心点的距离呢，根据我们这个图他都是小于一的，对吧？如果是等于一呢，就落在这个圆的边上了，那如果是大一呢，就落到外面去了， 那么有这个特点呢，我们就可以呢来用 c 口来模拟这个圆周率，我们看一下， 那么在这里呢，我们仍然是需要用到一个功能，叫做呢地规，因为我需要生成 n 次的实验结果，所以呢我用这个地规来帮我 生成，那那个就是先定一个临时表 as， 那么 我们说了地规是分两部分，首先呢就是你初始，对吧？初始的执行次数，比如说我是一作为我的一个次数，对吧？然后呢我要随机在这个零这个到一之间扔这个，这个点，对吧？刚才我们说了一个正方形，那么我需要用一个函数叫 random， 那么这是我的 x 坐标零到一一个随机值，然后呢同样我也还有一个 y 坐标，那么这样的话呢，就是相当于我在一个 方框内正方形内随机扔了一个点，那第一次可能扔到这里了，对吧？那接下来我要不停的去扔点，这是我要去不停的做实验啊，那是 n 加一， 对吧？然后呢？仍然是呃扔 x 轴，对吧？然后再扔一个 y 轴， 当然我是基于我这个 t 表，对吧？因为就是基于它的结果来不停的去迭代，当然我也有个次数限制，对吧？比如 n， 呃，小于这个一百，那么 这就是我的一个实验，我先看一下 from t， 对吧？那我们大家可以看一下，这样的话呢，我就生成了 n 个这个随机的点，对吧？那接下来其实就比较简单，就是 我现在要判断哪些点是在我四分之一元内，哪些点是在我的这个正方形内，对吧？所有点都在正方形内，那么刚才我们的公式是四乘以，对吧？那么 在我的这个四分之一圆内的点有什么特点呢？就是他的这个点的坐标到我的这这个中心点，对吧？也就是 x 和 y 这个坐标，他的中心点到中心点的距离呢？应该是 小一的，对吧？或者说呢，我们大家可以用一减 floor， 因为 floor 呢，是我们说了它是一个呃往下取整的一个函数，对吧？那么呢， x 乘以 x 加上 y 乘以 y， 也就是说你这个 x 和 y 之间的这个 x 平方加上 y 的平方，说白了其实就是那个点到零这个之间的一个距离，如果呢，它大于一，那么就是零，如果小 一呢？就是说明我是在这个四分之一元内，对吧？那他的次数总次数就是我们这个抗的心了，因为所有次数都在这，对吧？那其实就很简单，那这样的话呢，就能得到我的一个 模拟的一个结果了。我们看一下三点零八，因为我这个次数比较少，对吧？比如说我是一万次， 对，这里呢？因为 mythical 呢，它有一个最多的迭代次数的限制，对吧？所以呢我们可能要去呃 set 一下， 等于比如说我把它放长，因为默认他只能迭代，呃，应该是一千次，我 set 一下。好，那这样的话呢，我就可以迭代很多次了， 我们看一下三点一四三二，对吧？如果我再来一点，对吧？一百万次，看一下慢一点，但是呢他会慢慢的准确，就是三点一四就会慢慢的接近我们这个 pad 值，那就是我们这个模拟过程呢，就会慢慢的真实了， 这个有点慢。哈，我们稍微等一下啊，三零一四二一，就是随着你这个次数的增加呢，它会呃越来越接近我们这个拍的这个真实的情况。那么如果大家对这个 circle 知识感兴趣的话呢，也能了解一下我写的这本书 circle 编程思想。

  所谓割元数，是通过元的内接或外切正多边形增加边数，计算多边形的周长或面积，用于逼近元的周长或面积。 公元前二五零年，阿基米德通过正九十六边形逼禁元，将圆周率精确到了三点一四。公元二六三年，刘辉通过割元数得到元周率的近四值三点一四一六。 公元四八零年左右，祖冲之江元周瑞金却到小数点后七位，这一成果保持八百余年的领先，但是并不确定祖冲之到底是用什么方法。 年分数的一个 重要用途就是逼近五里数。但由于计算量大，很少有人用连分数算圆周率，比如屏幕上布朗开罗的连分数。 莱布尼茨市第一个通过无穷极术解析室表示圆周率的人。这种解析室的出现，结束了割原数的繁杂计算。在此之后，欧拉马婷等众多的数学家都给出了不同的无穷极术解析室，只是收敛的速度各不相同。 一七零六年，英国的数学家梅亲首先提出梅亲攻势，并结合反正切函数的泰勒吉数，将圆周率的计算突破了一百位大关。在这之后的一段时间里，计算圆周率超 不少著名的数学家也去参加了，给出了更多的反正切公式。 一九七六年，欧人沙大明发表重要论文利用算术平均数余几和平均数计算值得新方法。理查德波伦特于童年独立发现了类似的新方法。该算法原属于高斯的思想，高斯并没有将其与的计算相联系，因此该算法被叫做高斯沙朗明 罗伦特法。该算法收敛速度比任何经典公式都快。之后基于该算法派生出了速度更快的算法。 椭圆积分法建立在椭圆积分变换的理论上，首个使用的人士 是印度传奇的天才数学加拉玛努金，他一共给出了十四个算圆周率的公式。发展到现在，椭圆积分法为计算机计算圆周率提供了很多方法，不断地刷新记录。现在圆周率已经精确到小数点后六十二点八万亿位。