走近神秘的数字π！手把手教你用蒙特卡洛法来计算圆周率

  从自然模式到气候科学，从医学成像到搜索引擎，从运输网络到AI的优化，从建模到流行病的控制……

  联合国教科文组织在2019年11月26日第四十届大会批准宣布，3月14日为“国际数学日（International Day of Mathematics,简称IDM）”。因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字，所以这一天也叫圆周率日（π Day）。

  圆周率，一般以π来表示，是一个在数学及物理学中都会存在的数学常数，它是圆形的周长与直径的比值。研究π的历史可以追溯到几千年前，它是数学家们一直以来追踪的目标之一。

  公元前250年，希腊数学家阿基米德通过割圆术计算圆周率，阿基米德进行了96边形的割圆之后，将圆周率推到了小数点后两位3.14。

  直到公元265年，中国的数学家刘徽用割圆术的方法，通过正3072边形计算出π的数值为3.1416，艰难地把圆周率推到了小数点后四位。

  200年后，祖冲之接着使用割圆术计算12,288形的边长，将圆周率推到了小数点后六位，可惜的是，由于文献的失传，祖冲之的计算方式我们现在已经不得而知了。

  祖冲之将圆周率π的记录保持了800年。随着近代数学的发展，数学家韦达、罗门、科伊伦、司乃耳、格林伯格通过割圆术陆续将圆周率推到了小数点后39位，这个精度是什么概念呢，如果我们通过小数点后39位的圆周率计算一个一个可观察宇宙大小的圆，计算的误差仅仅只有一个氢原子大小。

  十六世纪到十七世纪，人们发现了一种新的圆周率计算方式——无穷级数法，让计算圆周率的工作变得更快速。无穷级数是一组无穷数列的和，数学家梅钦通过无穷级数将圆周率推算到小数点后100位，在很短的时间里，人们通过梅钦类公式反复打破了新的圆周率记录。

  18世纪，法国数学家布丰提出了随机投针法，即利用概率统计的方法来计算圆周率π的值，也就是著名的投针实验。布丰在地板上画出若干平行的直线，再将一根根短于平行直线距离的针撒到地板上，通过统计针的总数和与直线相交的针的个数，从而计算圆周率。

  这种算法虽然虽然没有打破圆周率的记录，但这种将几何与概率结合起来的思想催生了蒙特卡洛算法，也让人工智能成为了可能。

  2016年，围棋AI AlphaGo击败了顶尖的人类棋手李世石，一时轰动世界。

  围棋有19×19总共361个交叉点，每个交叉点可以有黑棋、白棋、没有棋子三种情况，除去围棋规则不允许和对称的情况外，总共约为2x10170种情况。比整个宇宙的原子还多，穷举法无法计算所有情况。

  AlphaGo的战胜人类的秘密是依靠蒙特卡洛树搜索和深度神经网络，无需遍历所有情况，即可在有限的时间内找出最佳一着。

  20世纪40年代美国开启了研制的“曼哈顿计划”，这个计划的领导者是现代计算机之父冯诺依曼。

  在研制的过程中，冯诺依曼提出了一种新的算法，通过大量随机样本去了解一个高度复杂的系统，并把这个算法命名为“蒙特卡洛算法”。

  蒙特卡洛是摩洛哥的一座城市，以赌博出名。赌博还是算法，都与概率和随机性有关。所以，蒙特卡洛算法的核心就是——蒙。

  我们可以用NetLogo设计一个蒙特卡洛法计算圆周率的程序，让学习数学变得更简单，也为咱们提供一个新的思维方式。

  蒙特卡洛法其实很简单，如上图，首先我们作圆以及圆的外界正方形。假设圆的半径为R，则外接正方形边长为2R。

  假设我们总共投进了a个点，落入圆内的点有b个，那么，a和b的比例是多少呢？

  这样我们就建立起一个落在圆内的概率（b/a）和圆周率π的关系，通过简单的移项，我们获得了π与投点个数的关系：π ≈ b/a×4，这样我们就能够最终靠计算b和a的数据计算圆周率π。

  点击运行，右侧的舞台上就会随机出现小海龟，我们大家可以通过统计站在绿域的小海龟和总共出现的海龟比例，来估算圆周率。点击运行，我们可以看到无填上出现了很多小海龟。

  通过下方误差率表统计着估算的圆周率与高精度的圆周率之间的误差率变化，我们看到，一开始是误差率非常高，随着投点数量的增加，误差率慢慢接近于0.也就是说，只要我们进行足够多的投点，就可以获得精度较高的圆周率。

  首先，蒙特卡洛法需要进行多次重复试验，多次投点才能获知圆周率；蒙特卡洛法的精确度低，数万次乃至数十万次投点，才将圆周率误差提高到0.01%。

  从另一方面看，蒙特卡洛法有较高的泛用性，许多很多可以使用积分求面积的计算也能够最终靠蒙特卡洛法得到，对于不规则图形甚至可能是唯一方法。

  蒙特卡洛法还有计算简便的特点，对于复杂度极其高的计算，蒙特卡罗法更为简便。

  计算机诞生之后，好奇心使得人类在追求圆周率精度的道路上变得疯狂，记录急剧增加。

  随着科技的慢慢的提升和发展，高精度计算π值被用作测试计算机解决能力的基准，更加精确的π值也随之出现。

  2020年，一个名为北阿拉巴马慈善计算的非营利组织的创始人蒂莫西·穆利肯使用个人电脑，将数值计算到小数点后50万亿位，耗时303天。

  截止到2021年8月17日，瑞士的研究人员使用了一台超级计算机，经历了108天，精准的将圆周率π计算到了小数点后的62.8万亿位，创下该常数迄今最精确值记录！

  尽管我们现实的计算中完全不要使用到精度如此高的圆周率，但对于圆周率精度的追求正是人类好奇心的呈现，这种好奇心驱使着科学的不断前进。