闲谈泰勒级数_函数_研讨_导数

  泰勒级数呀，泰勒级数这个神器，能够用一个函数在一点的前n 阶导数值来迫临这个函数，把函数展成幂级数。

  便是将 arctan x 横竖切函数，按泰勒级数打开，核算 arctan 1的值，便是 1/4π。

  再往下，假如它们的二阶导数值，以至于前n阶导数值在这一点都相同，那它们的联系就十分密切了。

  假如把这两个函数的曲线画出来，则这两个函数不止在这一点相交，在这点邻近的形状十分类似，十分的靠近了。

  一个函数的泰勒打开，便是找到一个幂级数函数，和本来这个函数在一点的函数值持平，在这点的各阶导数值也持平。

  这样，在这点邻近 就能够用这个幂级数函数，也就说泰勒打开，来迫临 这个函数值。

  这儿用了一个词，邻近，如同有些含糊，邻近是靠的有多近，才叫邻近，有详细的数值吗？

  比方 ln(1+x) 的泰勒级数打开的收敛半径便是1，使用 x=0处的泰勒打开式，最远可拿来迫临 ln 2 的值，算ln 3 就不行了。

  而 上边的泰勒级数，核算圆周率，直接有公式，只需核算的项数足够多，就能够迫临到恣意精度，不需要核算剖析内接正多边形了。

  而用横竖切函数泰勒级数打开核算，考虑的核算对象是圆周视点，便是弧长比半径，跟着正切值的改变状况。使用正切值零点，来迫临正切值一点的弧度值。

  牛顿为了研讨运动现象，核算出 物体运动的瞬时速度，而想到了无穷小和导数。

  把弧度随正切值 改变的 这个工作，放到动态的视点了解，立马得到比割圆术更深入的定论。

  微积分发源于研讨运动现象，开展出动态思想，用于研讨静态的现象，功率得到了大提高。

  向量发源于研讨力学现象，咱们日常推拉物体，物体有比较清晰的受力点，而天体遭到的引力，物体遭到的重力，没有单一清晰的受力点，能够当作重心和质心是受力点，用来核算。实际上，整个物体处处受力。

  所以研讨天体力学，首要考虑的是力的巨细和方向，后边才考虑详细受力点。形成了向量思想。

  这种向量思想，返回去研讨静态的图形，也取得了 比欧几里得几许 更高的功率。