数学实验报告2-圆周率的计算-mathematicapdf

  数学实验报告 实验序号： 2 日期：2016 年 月 日 班级 XX 学号 实验 圆周率π的计算 名称 问题背景描述： 圆周率是指一个圆的周长与其直径的比值。古今中外，许多人致力于圆周率的研究。回顾历 史，人类对π的认识过程，反映了数学和计算技术发展情形的一个侧面。π的研究，在一定 程度上反映着这个地区或时代的数学水平。 德国数学家康托说： “历史上一个国家所算得的圆 周率的准确程度，可当作衡量这一个国家当时数学发展水平的指标。〞 实验环境： 学校机房、 Mathematica4.0 软件、 PrintScreen 软件 实验目的： 首先在 Mathematica 环境中用多种方法计算圆周率 的值，通过实验来体会很多方法的区 别，比较很多方法的优劣，接着尝试自己提出新的方法来计算圆周率 的值。 实验理论基础和方法： 1.用 Mathematica 绘图函数 Plot 绘制圆周率 ； 2. 运用数值积分法计算圆周率： 利用半径为 1 的单位圆的面积等于 来求解圆周率； 3.利用泰勒级数法计算 ： 3 5 2 k 1 x x k 1 x 利用反正切函数的泰勒级数 arctan x x ( 1) 3 5 2k 1 4. 蒙特卡罗法计算 . 实验结果报告与实验总结： 一、数值积分法计算 因为单位圆的半径为 1，它的面积等于 ，所以只要计算出单位圆的面积， 就算出了 。 在坐标轴上画出以圆点为圆心，以 1 为半径的单位圆，则这个单位圆在第一象限的部分是一 个扇形，而且面积是单位圆的 1/4，于是，我们只要算出此扇形的面积，便可以计算出 。而 且单位的精度可能会影响计算的结果，下面将给出不同的 n 计算所得结果并讨论差异。 1. 当 n=1000 时 命令： n=1000;y[x_]:=4/(1+x*x); s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n; s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/( 6*n); Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]; 结果如下： 2. 当 n=5000 时 命令： n=5000;y[x_]:=4/(1+x*x); s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n; s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}]) /(6*n); Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]; 运行结果 : . 3. 当 n=10000 时 命令 : n=10000;y[x_]:=4/(1+x*x); s1=(Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+(y[0]+y[1])/2)/n; s2=(y[0]+y[1]+2*Sum[y[k/n],{k,1,n-1}]+4*Sum[y[(k-1/2)/n],{k,1,n}])/( 6*n); Print[{N[s1,20],N[s2,30],N[Pi,30]}]; Plot[{4(1-x*x)},{x,0,1}] 运行结果： . 4. 能够准确的看出，用这种方法计算所得到的 值是相当精确的， n 越大，计算出来的扇形面积的近似 值就越接近 的准确值。 二、泰勒级数法计算 利用反正切函数的泰勒级数 3 5 2k 1 arctan x x x x ( 1) k 1 x 来计算 。 3 5 2k 1 命令： T[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),{k,0,n}]; N[4*T[1,20000],20]//Timing T[x_,n_]:=Sum[(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1),{k,0,n}]; Print[N[4*(T[1/2,260]+T[1/3,170]),150]]; Print[N[16*(T[1/5,110]-4*T[1/239,30]),150]]; Print[N[Pi,150]] 运行结果： . 结果分析：从实验过程能够准确的看出，这种方法花费的时间非常长。原因是当 x=1 时得到的 的展开 式收敛太慢。要使泰勒级数收敛得快，容易想到，应当使 x 的绝对值小于 1，最好是远比 1 小。例如，因为 ，所以我们大家可以计算出 的值，从而得到 的值。这样，就使得收敛速度加 快。改进后能够准确的看出，泰勒级数法得到的结果比数值分析法精确到小数点后更多位。 三、蒙特卡罗法计算 在数值分析法中，我们利用求单位圆的 1/4 面积来得到 ，从而得到 。单位圆的 1/4 是 一个扇形，它是边长为 1 的单位正方形的一部分，单位正方形的面积 。只要能够求出扇形的 面积 在正方形的面积中所占的比例 ，就能立即得到 ，从而得到 的值。下面的问题归结 为如何求 的值，这就用到了一种利用随机数来解决此种问题的蒙特卡罗法，其原理是在 正方形中随机的投入很多点，是所投的每个点落在正方形中每一个位置的机会均等，看其中 有多少个点落在扇形内。 降落在扇形内的点的个数与所投店的总数 的比

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